Ellipse, ou anse de panier à trois cercles, ou...?

I. Construction géométrique d'une première anse de panier à 3 cercles, la plus courante en architecture et la plus simple.
Sur un axe de coordonnées horizontal, on porte OB=a, c'est une donnée qui représente la moitié de la portée du cintre. Les points J et K partagent OB en trois parties égales D est tel que BD=les deux tiers de OA. De J et k comme centres, on trace deux cercles de rayon AJ=JK=KB. Les arcs AM et BN de ces cercles sont les deux petits cercles symétriques de l'anse de panier. Ces cercles se coupent en I point situé sur OC. De I on trace les droites IJ et IK (centres des petits cercles) qui coupent les petits cercles en M et N. Le cercle de rayon IM=IN engendre l'arc MCN qui est le grand cercle de l'anse de panier.
Ainsi cette anse de panier est constituée des trois arcs de cercles : MN et les deux arcs symétriques AM et BN.
Un calcul simple donne la relation entre b et a, à savoir :
 

ou, compte tenu de la construction ci-dessus :
b = 0,756 x a. C'est la condition (1).

L'inconvénient de cette anse de panier est que le choix de l'ouverture du cintre, soit "a", impose sa hauteur, soit "b". Ce qui semblerait manquer de souplesse. Mais il se trouve que l'anse de panier ainsi créée conduit, malgré cette réserve, à heureuse harmonie. Par exemple, si on se fixe une ouverture totale de 3,50m, la hauteur du cintre, d'après la formule(1) ci-dessus, est de 1,32m, ce qui est tout à fait dans la norme et esthétique.
Donc, si cette condition (1) est satisfaite, la courbe peut être une anse de panier, mais ce peut être aussi une ellipse d'allure très proche, comme le montre le graphique de comparaison ci-après. Par contre, si la condition n'est pas satisfaite, il s'agit à coup sûr d'une ellipse.
À moins que ce soit une autre anse de panier à 3, ou à 5, ou à 7 cercles. Ou bien ?... Allons voir.


II. Construction géométrique des anses de panier à 5 et 7 cercles.

Les figures parlent d'elles-mêmes, on tend vers la perfection ! Exactement le même principe que ci-dessus.


Question. Si on accroît le nombre de cercles et qu'on le fait tendre vers l'infini, l'anse de panier ainsi obtenue est elle confondue avec l'idéale ellipse ?

III. Construction géométrique d'une deuxième anse de panier à 3 cercles différente de la première.

Cette nouvelle anse de panier à trois cercles possède une propriété intéressante par rapport à la première : le choix de l'ouverture a n'impose pas, comme c'était le cas dans la famille précédente, une hauteur de cintre b. Autrement dit, comme pour l'ellipse, on peut choisir et a et b.

La portée du cintre AB = 2a, sa hauteur IH = b. On trace le triangle isocèle AHB et de H comme centre, on trace le cercle de rayon CH = b-a qui coupe en E et F les côtés du triangle. On trace enfin les médiatrices de AE et de BF qui coupent AB en O1 et O2 et CI en O. Le centres des petits cercles sont O1 et O2 et leur rayon est O1A = O2B. Le grand cercle est centré en O et a pour rayon OH.

Pour les amateurs de précisions mathématiques.
La construction ci-dessus n'est autre que la détermination graphique des centres et des rayons des deux cercles directeurs de l'ellipse, qui sont le plus grand cercle de l'ellipse centré sur Oy et le plus petit centré sur Ox. On détermine facilement à l'aide de triangles rectangles semblables les relations simples :
      
a et b étant le demi grand axe et le demi petit axe, r et R les rayons du petit et du grand cercle directeur.

Une querelle ellipse/anse de panier, est-ce bien raisonnable ?

Si on compare les anses de panier à trois cercles obtenus avec les deux méthodes avec les mêmes valeurs de a et de b, on constate que les deux courbes sont pratiquement confondues, les droites MI de la première courbe et JO de la deuxième sont très voisines et la distance maximum entre les deux courbes prise sur un rayon de courbure ne dépasse pas 1,5%.

Donc, cette distinction entre ellipse et anse de panier n'est-elle pas théorique étant donné les faibles différences entre les deux courbes ? Un œil, même exercé, saura-t-il apprécier la différence ? Ce qui affaiblirait la suprématie de l'ellipse chère aux puristes. Enfin, dans la pratique, ces courbes sont toutes deux très faciles à tracer.

Réponse au quiz "Ellipse ou anse de panier" et conclusion :

Donc, quelque soit votre choix, votre erreur sera minime. Alors, vous voyez...

Nota : On peut caractériser l'allure d'une ellipse, son aplatissement par exemple, par son excentricité "e" qui, par définition, est le rapport de la distance focale sur le grand axe. Tous calculs faits, avec la notation ci-dessus pour "a" et "b", on trouve : e = (1/a) x (a2-b2)½. Une ellipse d'excentricité nulle est un cercle, c'est le cas où a=b, et plus l'excentricité augmente et tend vers la valeur limite 1, qui est sa valeur maximum, plus l'ellipse est aplatie. Pour une ellipse pratiquement confondue à une anse de panier, c'est à dire satisfaisant à la condition (1) ci-dessus, on trouve e=0,65.

Quelques autres cintres de Galan.

Place de la Bastide. e=0,4.
Place de la Bastide. e=0,7
Vieille porte, ou prison.
e = 0,5.
Place des douze consuls. Portion d'ellipse ou de cercle.

En fait, ces considérations de géométrie sont-elles intéressantes pour des artisans travaillant sur le tas ?
Oui et non.
Oui, car on sait que par tradition les compagnons maîtrisaient bien ces théories comme on l'a constaté plus haut pour les charpentes. Maurice Soulès de Bonrepos en est un exemple vivant car il possède bien le sujet.
Non, car tous les artisans n'ont pas ces connaissances théoriques. Mais dans le mot "artisan", il y a le mot "art" ou "artiste" et un artisan digne de ce nom ressent bien si son œuvre est harmonieuse, que ce soit une anse de panier ou une ellipse, qu'il connaisse ou non la valeur numérique du nombre d'or !



Mais ces considérations mathématiques permettraient-elles, contre nature, une évasion dans le domaine de la poésie ?
Pour ce faire, faisons appel à Isidore Ducasse, alias Conte de Lautréamont, peu ou prou notre compatriote, qui se lance avec ce lyrisme dans le deuxième de ses Chants de Maldoror :

"Ô mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées, depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon cœur, comme une onde rafraîchissante. J'aspirais, dès le berceau, à boire à votre source, plus ancienne que le soleil, et je continue encore de fouler le parvis sacré de votre temple solennel, moi, le plus fidèle de vos initiés..."


Oiseau Avant de partir,
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Copyright J.-P. Maquaire